Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=1^infty 2 n x^nn!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty 2n,x^nn!. O conteúdo principal aqui é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão para determinar para quais x a série converge.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, defina an = 2n,x^nn!. Vamos calcular
|an+1an| = 2(n+1),|x|^n+1/((n+1)!)2n,|x|^n/(n!) = (n+1),|x|n+1cdotn!n!cdot1n = |x|n

Passo 3

Agora avaliamos o limite:
limntoinfty|x|n = 0
Como esse limite é sempre menor que 1 para qualquer x, o teste da razão garante convergência para todo real.

Passo 4

Portanto, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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