Verifique se a afirmação a seguir é VERDADEIRA ou FALSA, marcando sua resposta ( V ou F ) no espaço indicado:
( ) Sendo Phi in C^0([0, infty)) decrescente e positiva tal que Phi(infty)=0 (i.e., tem-se Phi(x) 0 ao x infty) e tal que x^alpha Phi(x) seja uma função CRESCENTE no intervalo (x0, infty) para certos x0 gg 1 e 0, então necessariamente vale a desigualdade
integral0^x Phi(y) d y <= K cdot(x+1) Phi(x) forall x>0
(para alguma constante K>0 cujo valor depende (em princípio) de Phi, alpha e x0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se uma certa desigualdade é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com funções que são decrescentes e positivas, e que tendem a zero quando $ x $ vai para o infinito. Além disso, a função $ x^{\alpha} \Phi(x) $ é crescente para $ x $ grande e $ \alpha $ entre 0 e 1. Precisamos descobrir se, sob essas condições, sempre vale que:
x
onde $ K $ é uma constante positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ x^{\alpha} \Phi(x) $ ser crescente. Isso quer dizer que, para $ x $ além de certo valor $ x_0 $, a função $ x^{\alpha} \Phi(x) $ está sempre aumentando à medida que $ x $ aumenta. Em termos matemáticos, isso implica que a derivada de $ x^{\alpha} \Phi(x) $ em relação a $ x $ é positiva:
x^alpha Phi(x)

Passo 3

Vamos calcular essa derivada:
ddx (x^alpha Phi(x)) = alpha x^alpha - 1 Phi(x) + x^alpha Phi'(x) > 0
Como $ \Phi(x) $ é decrescente, $ \Phi’(x) \leq 0 $. Portanto, podemos reescrever a desigualdade como:
Phi(x)
Isso nos dá uma relação entre $ \Phi(x) $ e sua derivada.

Passo 4

Agora, vamos analisar a integral $ \int_{0}^{x} \Phi(y) , dy $. Como $ \Phi(y) $ é positiva e decrescente, podemos comparar essa integral com $ x \Phi(x) $. Intuitivamente, a área sob a curva de $ \Phi(y) $ de 0 a $ x $ deve ser controlada por uma expressão envolvendo $ x \Phi(x) $, já que $ \Phi(x) $ diminui conforme $ x $ aumenta.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos a condição de que $ x^{\alpha} \Phi(x) $ é crescente. Isso implica que $ \Phi(y) \leq y^{-\alpha} \Phi(x) $ para $ y \geq x_0 $. Assim, a integral pode ser estimada por:
x^alpha Phi(x)

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^x y^-alpha , dy = x^1 - alpha1 - alpha
Portanto:
integral0^x Phi(y) , dy <= 11 - alpha x^1 - alpha Phi(x)

Passo 7

Observamos que $ x^{1 - \alpha} \Phi(x) = (x + 1) \Phi(x) \cdot \frac{x^{1 - \alpha}}{x + 1} $. Para $ x $ grande, $ \frac{x^{1 - \alpha}}{x + 1} $ é limitada, já que $ 1 - \alpha < 1 $. Assim, existe uma constante $ K $ tal que:
x^1 - alpha Phi(x) = (x + 1) Phi(x) cdot x^1 - alphax + 1

Resposta

Verdadeira.

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