Verifique se a afirmação a seguir é VERDADEIRA ou FALSA, marcando sua resposta (
ou
) no espaço indicado:
( ) Sendo
decrescente e positiva tal que
(i.e., tem-se
ao
e tal que
seja uma função CRESCENTE no intervalo
para certos
e
, então necessariamente vale a desigualdade
(para alguma constante
cujo valor depende (em princípio) de
,
e
).
( ) Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se uma certa desigualdade é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com funções que são decrescentes e positivas, e que tendem a zero quando $ x $ vai para o infinito. Além disso, a função $ x^{\alpha} \Phi(x) $ é crescente para $ x $ grande e $ \alpha $ entre 0 e 1. Precisamos descobrir se, sob essas condições, sempre vale que:
onde $ K $ é uma constante positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ x^{\alpha} \Phi(x) $ ser crescente. Isso quer dizer que, para $ x $ além de certo valor $ x_0 $, a função $ x^{\alpha} \Phi(x) $ está sempre aumentando à medida que $ x $ aumenta. Em termos matemáticos, isso implica que a derivada de $ x^{\alpha} \Phi(x) $ em relação a $ x $ é positiva:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada:
Como $ \Phi(x) $ é decrescente, $ \Phi’(x) \leq 0 $. Portanto, podemos reescrever a desigualdade como:
Isso nos dá uma relação entre $ \Phi(x) $ e sua derivada.
Passo 4
Agora, vamos analisar a integral $ \int_{0}^{x} \Phi(y) , dy $. Como $ \Phi(y) $ é positiva e decrescente, podemos comparar essa integral com $ x \Phi(x) $. Intuitivamente, a área sob a curva de $ \Phi(y) $ de 0 a $ x $ deve ser controlada por uma expressão envolvendo $ x \Phi(x) $, já que $ \Phi(x) $ diminui conforme $ x $ aumenta.
Passo 5
Para formalizar isso, usamos a condição de que $ x^{\alpha} \Phi(x) $ é crescente. Isso implica que $ \Phi(y) \leq y^{-\alpha} \Phi(x) $ para $ y \geq x_0 $. Assim, a integral pode ser estimada por:
Passo 6
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 7
Observamos que $ x^{1 - \alpha} \Phi(x) = (x + 1) \Phi(x) \cdot \frac{x^{1 - \alpha}}{x + 1} $. Para $ x $ grande, $ \frac{x^{1 - \alpha}}{x + 1} $ é limitada, já que $ 1 - \alpha < 1 $. Assim, existe uma constante $ K $ tal que:
Resposta
Verdadeira.