Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
Passo 1
Temos a série de potências em torno de x=−1:
O conteúdo é o teste de convergência de séries de potências. Vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz, calculamos
Pelo teste da raiz, a série converge se L<1 e diverge se L>1, logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Concluímos que a convergência ocorre para
|x+1|<1
ou seja em −2<x<0, e diverge para |x+1|>1.
Passo 4
Agora vamos testar os extremos. Primeiro em x=0 (x+1=1):
sumn=1^infty1^nn^2=sumn=1^infty1n^2,
que é uma p-série com p=2>1, portanto converge.
Passo 5
Em x=−2 (x+1=−1):
sumn=1^infty(-1)^nn^2,
que também converge absolutamente (novamente p-série p=2).