Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=0^infty (x+1)^nn^2

Passo 1

Temos a série de potências em torno de x=−1:
sumn=1^infty (x+1)^nn^2
O conteúdo é o teste de convergência de séries de potências. Vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
L=limntoinftyraiz[n]|(x+1)^nn^2|=limntoinfty|x+1|cdot n^-2/n=|x+1|cdot1=|x+1|
Pelo teste da raiz, a série converge se L<1 e diverge se L>1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Concluímos que a convergência ocorre para
|x+1|<1
ou seja em −2<x<0, e diverge para |x+1|>1.

Passo 4

Agora vamos testar os extremos. Primeiro em x=0 (x+1=1):
sumn=1^infty1^nn^2=sumn=1^infty1n^2,
que é uma p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 5

Em x=−2 (x+1=−1):
sumn=1^infty(-1)^nn^2,
que também converge absolutamente (novamente p-série p=2).

Resposta

O intervalo de convergência é [ -2,,0 ].

Exercícios relacionados