Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
Passo 1
Vamos resolver a série . O conteúdo principal aqui é achar o raio de convergência usando o teste da razão e, em seguida, verificar o comportamento nos extremos. Também vamos usar a fórmula de Stirling para testar os extremos.
Passo 2
Seja . Aplicando o teste da razão, calculamos
Sabemos que
Logo,
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, quando |x|.
Passo 3
Agora falta ver o que acontece em x=e e em x=-e. Para x=e,
an = n!,e^nn^n
Usando a fórmula de Stirling n!simraiz2pi n,(n/e)^n, temos
an sim raiz2pi n,(n/e)^n e^nn^n = raiz2pi n
Isso mostra que an não vai a zero, logo a série diverge em x=e. O mesmo raciocínio vale para x=-e, pois |an|simraiz2pi n também não tende a zero.
Passo 4
Portanto, a série converge estritamente para |x| e diverge em x=pm e.