Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=0^infty n!x^nn^n

Passo 1

Vamos resolver a série sumn=0^infty n!,x^nn^n. O conteúdo principal aqui é achar o raio de convergência usando o teste da razão e, em seguida, verificar o comportamento nos extremos. Também vamos usar a fórmula de Stirling para testar os extremos.

Passo 2

Seja an = n!,x^nn^n. Aplicando o teste da razão, calculamos
an+1an = (n+1)!,x^n+1/(n+1)^n+1n!,x^n/n^n = xn^n(n+1)^n = xl(nn+1r)^n
Sabemos que
limntoinftyl(nn+1r)^n = e^-1
Logo,
L = limntoinftyl|an+1anr| = |x|e
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, quando |x|.

Passo 3

Agora falta ver o que acontece em x=e e em x=-e. Para x=e,
an = n!,e^nn^n
Usando a fórmula de Stirling n!simraiz2pi n,(n/e)^n, temos
an sim raiz2pi n,(n/e)^n e^nn^n = raiz2pi n
Isso mostra que an não vai a zero, logo a série diverge em x=e. O mesmo raciocínio vale para x=-e, pois |an|simraiz2pi n também não tende a zero.

Passo 4

Portanto, a série converge estritamente para |x| e diverge em x=pm e.

Resposta

O intervalo de convergência é (-e, e).

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