Qual o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries?
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve encontrar o raio e o intervalo de convergência de duas séries infinitas. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão e o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde as séries convergem. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e séries de potências para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série alternada por causa do termo . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos focar na parte que envolve , que é .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz para essa série. O Teste da Raiz nos diz que a série converge se:
Aqui, . Então,
À medida que cresce, tende a 1. Portanto,
Para a série convergir, precisamos que:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade $ |3x - 1| < 1 $:
Adicionando 1 em todas as partes:
Dividindo tudo por 3:
Então, o raio de convergência é $ \frac{1}{3} $ (pois $ R = \frac{1}{\texticocoeficiente de x} $).
Passo 5
Agora, vamos verificar os pontos finais do intervalo $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $ para ver se a série converge nesses valores.
Para $ x = 0 $:
Essa é uma série p com $ p = 2 $, que converge.
Para $ x = \frac{2}{3} $:
Também é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, então converge.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda série:
Essa é uma série de potências padrão. Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 7
Aplicando o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
À medida que n tende ao infinito, raiz1 - 1n+1 to 1. Portanto,
limn to infty | an+1an | = |x|
Para a série convergir,
|x| < 1
Então, o raio de convergênciaR é 1.
Passo 8
Vamos agora verificar os pontos finais do intervalo $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Para $ x = -1 $:
x = -1
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, então converge por critério de Leibniz.
Para $ x = 1 $:
x = 1
Essa é uma série p com $ p = \frac{1}{2} $, que diverge.
Resposta
Para a primeira série sumn=1^infty (-1)^n-1(3x - 1)^nn^2, o raio de convergência é $ R = \frac{1}{3} $ e o intervalo de convergência é $ 0 \leq x \leq \frac{2}{3} $.
Para a segunda série R = 13 , o raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 \leq x < 1 $.