Qual o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries?
sumn=1^infty (-1)^n-1(3 x-1)^nn^2 7) sumn=1^infty x^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve encontrar o raio e o intervalo de convergência de duas séries infinitas. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão e o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde as séries convergem. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e séries de potências para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira série:
sumn=1^infty (-1)^n-1(3x - 1)^nn^2
Essa é uma série alternada por causa do termo (-1)^n-1. Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos focar na parte que envolve x, que é (3x - 1)^n.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz para essa série. O Teste da Raiz nos diz que a série sum an converge se:
limn to infty raiz[n]|an| < 1
Aqui, an = (3x - 1)^nn^2. Então,
raiz[n]|an| = raiz[n]|3x - 1|^nn^2 = |3x - 1| cdot raiz[n]1n^2 = |3x - 1| cdot 1n^2/n
À medida que n cresce, n^2/n tende a 1. Portanto,
limn to infty raiz[n]|an| = |3x - 1|
Para a série convergir, precisamos que:
|3x - 1| < 1

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade $ |3x - 1| < 1 $:
|3x - 1| < 1
Adicionando 1 em todas as partes:
-1 < 3x - 1 < 1
Dividindo tudo por 3:
0 < 3x < 2
Então, o raio de convergência 0 < x < 23 é $ \frac{1}{3} $ (pois $ R = \frac{1}{\texticocoeficiente de x} $).

Passo 5

Agora, vamos verificar os pontos finais do intervalo $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $ para ver se a série converge nesses valores.
  • Para $ x = 0 $:
x = 0
Essa é uma série p com $ p = 2 $, que converge.
  • Para $ x = \frac{2}{3} $:
x = 23
Também é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, então converge.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=1^infty x^nraizn
Essa é uma série de potências padrão. Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 7

Aplicando o Teste da Razão, que diz que a série sum an converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Aqui, an = x^nraizn. Então,
| an+1an | = | x^n+1/raizn+1x^n/raizn | = |x| cdot raiznn+1 = |x| cdot raiz1 - 1n+1
À medida que n tende ao infinito, raiz1 - 1n+1 to 1. Portanto,
limn to infty | an+1an | = |x|
Para a série convergir,
|x| < 1
Então, o raio de convergência R é 1.

Passo 8

Vamos agora verificar os pontos finais do intervalo $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
  • Para $ x = -1 $:
x = -1
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, então converge por critério de Leibniz.
  • Para $ x = 1 $:
x = 1
Essa é uma série p com $ p = \frac{1}{2} $, que diverge.

Resposta

Para a primeira série sumn=1^infty (-1)^n-1(3x - 1)^nn^2, o raio de convergência é $ R = \frac{1}{3} $ e o intervalo de convergência é $ 0 \leq x \leq \frac{2}{3} $.
Para a segunda série R = 13 , o raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 \leq x < 1 $.

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