Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2. O conteúdo é convergência de séries de potências: vamos achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, fazemos mudança de índice: seja t = x+5 e defina k = n-1. A série vira sumk=0^infty t^k(k+1)^2. Aplicando o teste da raiz, temos
limktoinfty raiz[k]1(k+1)^2 = limktoinfty 1(k+1)^2/k = 1,

Passo 3

logo o raio de convergência é R = 1 e a convergência é garantida para |t|<1, ou seja |x+5|<1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  • Para x+5 = 1 (ou seja, x = -4), a série fica sumn=1^infty 1^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2, que converge (série p com p=2>1).
  • Para x+5 = -1 (ou seja, x = -6), a série fica sumn=1^infty (-1)^n-1n^2, que converge absolutamente (também p-série com p=2).

Resposta

O intervalo de convergência é [-6, -4]

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