Demonstrar as seguintes afirmações:
Se S in R^n então int(S) e ext (S) são abertos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto qualquer SsubsetR^n, o interior de S, isto é, int(S), e o exterior de S, isto é, ext(S), são conjuntos abertos. Vamos usar conceitos de topologia em R^n.

Passo 2

Recordando as definições básicas: um conjunto AsubsetR^n é aberto se e somente se, para todo ponto xin A, existe um raio r>0 tal que a bola aberta centered at x com raio r está contida em A. Formalmente,
;A é aberto Long<=ftrightarrowforall xin A;exists r>0:;B(x,r)subset Aé

Passo 3

A definição de interior é
int(S)=xinR^n:;exists r>0:;B(x,r)subset S,
e a definição de exterior é
ext(S)=xinR^n:;exists r>0:;B(x,r)cap S=varnothing = xinR^n:;exists r>0:;B(x,r)subset S^c=int(S^c)

Passo 4

Para provar que int(S) é aberto, basta notar que todo ponto xinint(S) já satisfaz a condição de abertura: por definição existe r>0 tal que B(x,r)subset S. Mas então B(x,r)subsetint(S) também, porque qualquer ponto dentro de uma bola desenhada em S continua sendo ponto interior de S. Logo, int(S) satisfaz a definição de aberto.

Passo 5

Para ext(S), como mostramos que
ext(S)=int(S^c),
e já sabemos que todo interior de conjunto qualquer é aberto, segue imediatamente que ext(S) é aberto.

Passo 6

Portanto, tanto int(S) quanto ext(S) são conjuntos abertos em R^n.

Resposta

Concluímos que int(S) e ext(S) são conjuntos abertos.

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