Demonstrar as seguintes afirmações:
Se
então
e ext
são abertos.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto qualquer
, o interior de
, isto é,
, e o exterior de
, isto é,
, são conjuntos abertos. Vamos usar conceitos de topologia em
.
Passo 2
Recordando as definições básicas: um conjunto
é aberto se e somente se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta centered at
com raio
está contida em
. Formalmente,
Passo 3
A definição de interior é
e a definição de exterior é
Passo 4
Para provar que
é aberto, basta notar que todo ponto
já satisfaz a condição de abertura: por definição existe
tal que
. Mas então
também, porque qualquer ponto dentro de uma bola desenhada em
continua sendo ponto interior de
. Logo,
satisfaz a definição de aberto.
Passo 5
Para
, como mostramos que
e já sabemos que todo interior de conjunto qualquer é aberto, segue imediatamente que
Passo 6
Portanto, tanto
quanto
são conjuntos abertos em
.
Resposta
Concluímos que
e
são conjuntos abertos.