Dado um conjunto S subset R^n, mostre que todo ponto x in R^n com a propriedade: "toda bola com centro em x tem pontos interiores e exteriores a S " é um ponto de fronteira.
A recíproca é verdadeira? Ou seja, todo ponto de fronteira tem a propriedade acima?

Passo 1

O exercício aborda topologia elementar em R^n. Dado um conjunto SsubsetR^n, o objetivo é demonstrar que todo ponto x que satisfaz a condição de que “toda bola centrada em x tem pontos interiores a S e pontos exteriores a S” é um ponto de fronteira de S. Para isso, serão utilizadas as definições de bola (vizinhança), interior de S, exterior de S e fronteira de S.

Passo 2

A fronteira de S, denotada por partial S, pode ser definida como
partial S=overline ScapS^c,
onde overline S é o fecho de S e S^c=R^nsetminus S. Uma forma equivalente de expressar que xinpartial S é: para todo r>0,
B(x,r)cap Sneqemptysete B(x,r)cap S^cneqemptyset

Passo 3

Como “pontos interiores de S” significa elementos de int(S)subset S e “pontos exteriores de S” são elementos de int(S^c)subset S^c, temos a implicação direta
B(x,r)cap int(S)neqemptysetimplies B(x,r)cap Sneqemptyset,
B(x,r)cap int(S^c)neqemptysetimplies B(x,r)cap S^cneqemptyset

Passo 4

Logo, do fato de cada bola centrada em x intersectar tanto int(S) quanto int(S^c), decorre que B(x,r) também intersecta S e S^c. Portanto xinpartial S.

Passo 5

Para a recíproca: dizer “ xinpartial S” garante apenas que toda vizinhança de x intersecta S e S^c, mas não obriga a intersectar as partes internas de S ou de S^c. Um contraexemplo clássico é S=Q em R; temos partial S=R, mas int(S)=emptyset e int(S^c)=emptyset, então nenhum ponto satisfaz a propriedade forte de “toda bola conter interior de S e interior de S^c”.
Assim, a recíproca é falsa.

Resposta

O ponto que satisfaz que toda bola centrada nele tem pontos de int(S) e pontos de int(S^c) é forçosamente um ponto de fronteira de S. Mas a recíproca não vale, pois um ponto de fronteira pode não ter vizinhanças que atinjam o interior de S ou o interior de S^c (por exemplo, S=Q em R).

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