Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=de

Passo 1

A questão pede pra gente resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e duas forçantes: um impulso de e um degrau deslocado multiplicado por cos t. Vamos usar transformada de Laplace para achar a solução no domínio do tempo e depois discutir o comportamento e esboçar o gráfico.

Passo 2

Tomando Laplace em y''+5y'+6y=f(t) com condições iniciais nulas, obtemos
Y(s)l(s^2+5s+6r)=F(s)
e portanto
Y(s)=F(s)(s+2)(s+3)
Onde
F(s)= Lde

Passo 3

Reconhecendo que
1(s+2)(s+3)=1s+2-1s+3
a resposta ao impulso (função de transferência) é
h(t)=l(e^-2t-e^-3tr)u(t)
Assim usamos a convolução para separar a resposta em duas partes: uma devida ao impulso em t=pi/2 e outra devida ao degrau em t=pi.

Passo 4

A parte devida ao impulso é imediata: convoluindo h(t) com de
y1(t)=h(t-tfracpi2),ul(t-tfracpi2r)=l(e^-2(t-pi2)-e^-3(t-pi2)r)ul(t-tfracpi2r)

Passo 5

A parte devida ao termo u(t-pi)cos t é
y_2(t)=\int_0^t h(t-\tau),u(\tau-\pi)\cos\tau,d\tau=\int_{\pi}{t}\bigl(e{-2(t-\tau)}-e^{-3(t-\tau)}\bigr)\cos\tau,d\tau.
Fazendo a integral de cada termo por desdobramento e usando
integral e^ataucostau,dtau=e^ataul(acostau+sintaur)a^2+1,
chega-se a
y2(t)=cos t+sin t10+25e^-2(t-pi)-310e^-3(t-pi), t>=pi

Passo 6

Reunindo as duas partes, a solução geral fica em forma de função por partes:
y(t)= 0,&t=pi

Passo 7

Graficamente, até t=pi/2 o sistema está em repouso em zero. No instante t=pi/2 recebe um impulso que gera um pico na derivada e, em seguida, um decaimento exponencial (parte entre pi/2 e pi). A partir de t=pi surge também a forçante senoidal deslocada, e a resposta passa a ser a soma do decaimento exponencial residual com uma oscilação amortecida que converge para o regime permanente tfraccos t+sin t10.

Passo 8

No longo prazo ( ttoinfty) todos os termos exponenciais morrem, sobrando o regime estacionário
yrm ss(t)=cos t+sin t10,
o que mostra que o sistema responde com uma pequena oscilação em fase defasada do coseno original.

Resposta

y(t)=
0,&t=pi

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