Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
A questão pede pra gente resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e duas forçantes: um impulso e um degrau deslocado multiplicado por . Vamos usar transformada de Laplace para achar a solução no domínio do tempo e depois discutir o comportamento e esboçar o gráfico.
Passo 2
Tomando Laplace em com condições iniciais nulas, obtemos
e portanto
Onde
Passo 3
Reconhecendo que
a resposta ao impulso (função de transferência) é
Assim usamos a convolução para separar a resposta em duas partes: uma devida ao impulso em e outra devida ao degrau em .
Passo 4
A parte devida ao impulso é imediata: convoluindo com dá
Passo 5
A parte devida ao termo é
y_2(t)=\int_0^t h(t-\tau),u(\tau-\pi)\cos\tau,d\tau=\int_{\pi}{t}\bigl(e{-2(t-\tau)}-e^{-3(t-\tau)}\bigr)\cos\tau,d\tau.
Fazendo a integral de cada termo por desdobramento e usando
chega-se a
Passo 6
Reunindo as duas partes, a solução geral fica em forma de função por partes:
Passo 7
Graficamente, até t=pi/2 o sistema está em repouso em zero. No instante t=pi/2 recebe um impulso que gera um pico na derivada e, em seguida, um decaimento exponencial (parte entre pi/2 e pi). A partir de t=pi surge também a forçante senoidal deslocada, e a resposta passa a ser a soma do decaimento exponencial residual com uma oscilação amortecida que converge para o regime permanente tfraccos t+sin t10.
Passo 8
No longo prazo (ttoinfty) todos os termos exponenciais morrem, sobrando o regime estacionário
yrm ss(t)=cos t+sin t10,
o que mostra que o sistema responde com uma pequena oscilação em fase defasada do coseno original.