Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

A gente tem a série de potências
sumn=0^infty n(x-1)^2n3^2n-1
O conteúdo é série de potências centrada em x=1 e vamos usar o teste da razão para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

Começando a simplificar o termo geral, note que
3^2n-1=3^2n3=9^n3,
então o termo fica
an=n(x-1)^2n3^2n-1=3nl((x-1)^29r)^n

Passo 3

No teste da razão, consideramos
L=limntoinfty l|an+1anr| =limntoinfty 3(n+1)l|(x-1)^2/9r|^n+13nl|(x-1)^2/9r|^n =limntoinfty n+1n,l|(x-1)^29r| =l|(x-1)^29r|
Pelo teste da razão, converge se L<1.

Passo 4

Da condição (x-1)^2<9 segue
|x-1|<3
logo
-2
o que dá o intervalo aberto

Passo 5

Agora testamos os extremos:
Para x=-2, temos (x-1)^2=9 e o termo geral vira an=3n, que não tende a zero, logo diverge.
Para x=4, também (x-1)^2=9 e an=3n, diverge pelo mesmo motivo.

Resposta

(-2,4)

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