Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça uma gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais.
Passo 1
A função é dada por f(x)=1+x para -1<x<0 e f(x)=1−x para 0<x<1, com período p=2, ou seja L=1. Para resolver usamos série de Fourier em [−L,L], detalhes a seguir.
Passo 2
A função f é par, pois para x em (0,1) valem f(−x)=1+(−x)=1−x=f(x). Logo todos os coeficientes b_n serão zero, restando apenas termos em coseno.
Passo 3
Primeiro coeficiente a₀: usamos
Como f é par,
Passo 4
Coeficientes a_n (n≥1):
Passo 5
Dividimos em duas integrais e, após integração por partes em ∫₀¹x
cosp(nπx)dx, obtemos
cosp(nπx)dx, obtemos
Passo 6
Logo para n par temos a_n=0 e para n ímpar (n=2k−1)
Passo 7
A série de Fourier de f(x) fica
Passo 8
Definindo as somas parciais S_N(x)=\tfrac12+\sum_{n=1}^N a_n\cos(n\pi x), as primeiras três não-nulas são
Passo 9
Esboço qualitativo: S₁ é uma única curva cosenoidal centralizada em x=0; S₃ e S₅ já mostram o formato triangular, aproximando f(x) e apresentando pequenas oscilações (fenômeno de Gibbs) perto de x=±1.
Resposta
A série de Fourier é
As três primeiras somas parciais não-nulas são