Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça uma gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais.
f(x)=1+x(-1

Passo 1

A função é dada por f(x)=1+x para -1<x<0 e f(x)=1−x para 0<x<1, com período p=2, ou seja L=1. Para resolver usamos série de Fourier em [−L,L], detalhes a seguir.

Passo 2

A função f é par, pois para x em (0,1) valem f(−x)=1+(−x)=1−x=f(x). Logo todos os coeficientes b_n serão zero, restando apenas termos em coseno.

Passo 3

Primeiro coeficiente a₀: usamos a0=1Lintegral-L^L f(x),dx=integral-1^1 f(x),dx Como f é par,
a0=2integral0^1(1−x),dx=2l[x−tfracx^22r]0^1=2l(1−tfrac12r)=1 Então o termo constante da série é a₀/2=1/2.

Passo 4

Coeficientes a_n (n≥1):
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx=2integral0^1(1−x)cos(npi x),dx

Passo 5

Dividimos em duas integrais e, após integração por partes em ∫₀¹x
cosp(nπx)dx, obtemos
integral0^1xcos(npi x)dx=(-1)^n−1n^2pi^2 Assim
an=2l(1−(-1)^nr)/(n^2pi^2)

Passo 6

Logo para n par temos a_n=0 e para n ímpar (n=2k−1)
a2k−1=4(2k−1)^2pi^2

Passo 7

A série de Fourier de f(x) fica
f(x)=12+sumk=1^infty4(2k-1)^2pi^2cosl((2k-1)pi xr)

Passo 8

Definindo as somas parciais S_N(x)=\tfrac12+\sum_{n=1}^N a_n\cos(n\pi x), as primeiras três não-nulas são
S1(x)=12+4pi^2cos(pi x),
S3(x)=12+4pi^2cos(pi x)+49pi^2cos(3pi x),
S5(x)=12+4pi^2cos(pi x)+49pi^2cos(3pi x)+425pi^2cos(5pi x)

Passo 9

Esboço qualitativo: S₁ é uma única curva cosenoidal centralizada em x=0; S₃ e S₅ já mostram o formato triangular, aproximando f(x) e apresentando pequenas oscilações (fenômeno de Gibbs) perto de x=±1.

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=12+sumk=1^infty4(2k-1)^2pi^2cosl((2k-1)pi xr)
As três primeiras somas parciais não-nulas são
S1(x)=12+4pi^2cos(pi x),
S3(x)=12+4pi^2cos(pi x)+49pi^2cos(3pi x),
S5(x)=12+4pi^2cos(pi x)+49pi^2cos(3pi x)+425pi^2cos(5pi x)

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