Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

A questão pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos o termo geral an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)! e calculamos limntoinfty l|an+1anr|.

Passo 3

Calculando o quociente em valor absoluto:
l|an+1anr| = |x|^2(n+1)-1/(2(n+1)-1)!|x|^2n-1/(2n-1)! = |x|^2n+1(2n+1)!cdot(2n-1)!|x|^2n-1 = |x|^2(2n+1)(2n)

Passo 4

Observe que
limntoinfty |x|^2(2n+1)(2n) = 0 < 1
independentemente de x. Isso significa que a série converge absolutamente para todo x.

Resposta

O intervalo de convergência é ( -infty, +infty ).

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