determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência \sum n(x-1)^{n-1}, ~ \operatorname{com} x \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}n\,(x-1)^{n-1},
que é uma série centrada em x_{0}=1. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e em seguida verificar os pontos finais do intervalo.
Passo 2
Renomeamos o índice para aplicar o teste da razão de forma direta: defina m=n-1, então a série fica