determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum n(x-1)^{n-1}, ~ \operatorname{com} x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}n\,(x-1)^{n-1},
que é uma série centrada em x_{0}=1. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e em seguida verificar os pontos finais do intervalo.

Passo 2

Renomeamos o índice para aplicar o teste da razão de forma direta: defina m=n-1, então a série fica
\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,(x-1)^{m},
com termo geral
b_{m}=(m+1)(x-1)^{m}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{b_{m+1}}{b_{m}}\right| =\lim_{m\to\infty}\frac{(m+2)\,|x-1|^{\,m+1}}{(m+1)\,|x-1|^{\,m}} =\lim_{m\to\infty}\frac{m+2}{m+1}\;|x-1| =|x-1|.
Para convergência, requeremos
|x-1|<1.
Isto mostra que o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Como a série converge sempre que |x-1|<1, o intervalo aberto de convergência é
1-R < x < 1+R \quad\Longrightarrow\quad 0 < x < 2.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=0 e x=2:
  • Para x=0: o termo geral vira
n\,(0-1)^{n-1}=n(-1)^{n-1},
cujos termos não tendem a zero, logo a série diverge.
  • Para x=2: o termo geral vira
n\,(2-1)^{n-1}=n,
que também não tende a zero e faz a série divergir.
Portanto, nenhum extremo é incluído.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(0,2).

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