determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}.
O conteúdo principal é convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série \sum a_{n} com
a_{n} = \frac{x^{n}}{n+1}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+2)}{x^{n}/(n+1)}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|x\bigr|\frac{n+1}{n+2}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}(n+1)/(n+2)=1, temos
L = |x|.
O teste da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=1, a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1},
que é a série harmônica deslocada e diverge.
Para x=-1, a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1},
que é convergente por se enquadrar no critério de Leibniz (termos alternados, monotonicamente decrescentes em módulo e com limite zero).

Passo 5

Combinando tudo, a série converge para |x|<1 e converge ainda em x=-1, mas diverge em x=1. Portanto o intervalo de convergência é
[-1,1)
e o raio de convergência é R=1.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1) e o raio de convergência é 1.

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