determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n} x^{n+1}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}x^{n+1}}{n+1}.
O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio R, depois testar os extremos x=\pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo genérico
t_n = \frac{(-2)^{n}x^{n+1}}{n+1}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-2)^{n+1}x^{n+2}}{n+2}\cdot\frac{n+1}{(-2)^n x^{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}2\,|x|\;\frac{n+1}{n+2} =2\,|x|.
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de
2\,|x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac12.
Logo o raio de convergência é
R = \tfrac12.

Passo 3

Testando x=+\tfrac12, o termo vira
t_n = \frac{(-2)^n\bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}}{n+1} =\frac{(-1)^n}{2}\,\frac{1}{n+1}.
Então a série é
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2\, (n+1)},
que converge por critério de série alternada (os termos \tfrac1{n+1} decrescem a zero). Portanto x=+\tfrac12 está no intervalo.

Passo 4

Testando x=-\tfrac12, o termo vira
t_n = \frac{(-2)^n\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n+1}}{n+1} =-\frac{1}{2}\,\frac{1}{n+1},
e a série associada é
-\frac12\sum_{n=1}^\infty \frac1{n+1},
que diverge por ser harmônica. Assim x=-\tfrac12 não pertence ao intervalo.

Passo 5

Combinando, a série converge para |x|<\tfrac12 e em x=+\tfrac12, mas diverge em x=-\tfrac12.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac12 e o intervalo de convergência é \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr].

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