determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio
, depois testar os extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão ao termo genérico
Calculamos
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de
Logo o raio de convergência é
Passo 3
Testando
, o termo vira
Então a série é
que converge por critério de série alternada (os termos
decrescem a zero). Portanto
está no intervalo.
Passo 4
Testando
, o termo vira
e a série associada é
que diverge por ser harmônica. Assim
não pertence ao intervalo.
Passo 5
Combinando, a série converge para
e em
, mas diverge em
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.