determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}}.
O conteúdo aqui é reconhecimento de série geométrica e uso da condição de convergência \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Observe que a série pode ser vista como uma série geométrica com termo geral
a_n = \biggl(\frac{x-3}{2}\biggr)^{n}
e razão r = \frac{x-3}{2}. Uma série geométrica \sum r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.

Passo 3

Impondo \lvert r\rvert<1, temos
\Bigl\lvert \frac{x-3}{2}\Bigr\rvert < 1
que equivale a
\lvert x-3\rvert < 2.

Passo 4

Os extremos deste intervalo são x = 3-2 = 1 e x = 3+2 = 5. Verificamos a convergência nesses pontos:
  • Para x=1: o termo geral é \bigl(\tfrac{1-3}{2}\bigr)^n = (-1)^n. Como \lim_{n\to\infty}(-1)^n não existe (não tende a zero), a série diverge.
  • Para x=5: o termo geral é \bigl(\tfrac{5-3}{2}\bigr)^n = 1^n = 1. Novamente, o termo não tende a zero, logo a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (1,5) e o raio de convergência é 2.

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