determine o intervalo de convergência das seguintes séries e o raio de convergência
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é reconhecimento de série geométrica e uso da condição de convergência
.
Passo 2
Observe que a série pode ser vista como uma série geométrica com termo geral
e razão
. Uma série geométrica
converge se, e somente se,
.
Passo 3
Impondo
, temos
que equivale a
Passo 4
Os extremos deste intervalo são
e
. Verificamos a convergência nesses pontos:
- Para
: o termo geral é . Como não existe (não tende a zero), a série diverge. - Para
: o termo geral é . Novamente, o termo não tende a zero, logo a série diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é
.