Determine os valores de x para os quais é válido a seguinte desenvolvimento em séries das potências:
\cos (x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x para os quais a expansão em série de potências (série de Maclaurin) de \cos(x) é válida. O conteúdo envolve séries de potências e convergência absoluta, e usaremos o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série. Para \cos(x) a expansão é
a_n = \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}/(2n+2)!}{(-1)^n x^{2n}/(2n)!}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+1)} =0.
Como esse limite é menor que 1 para qualquer valor de x, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A expansão em séries de potências de \cos(x) converge para todo x\in\mathbb{R}.

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