Calcule o desenvolvimento em série de Taylor em torno do ponto \mathrm{x}=0, até a segunda ordem e com resto de Lagrange das funções:
f(x)=2^{1-x}

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de x=0 da função
f(x) = 2^{1 - x}
e o resto no formato de Lagrange.
Para isso precisamos calcular as derivadas até a terceira ordem (já que o resto de ordem 2 envolve a derivada de ordem 3) e avaliá-las em x=0.

Passo 2

Usamos a reescrita
f(x) = 2^{1-x} = 2\cdot 2^{-x} = 2\,e^{-x\ln 2}.
Daí:
f'(x) = 2\cdot\bigl(-\ln 2\bigr)e^{-x\ln 2} = -(\ln 2)\,2^{1-x},
f''(x) = -(\ln 2)\,\frac{d}{dx}\bigl(2^{1-x}\bigr) = -(\ln 2)\bigl[-(\ln 2)\,2^{1-x}\bigr] = (\ln 2)^2\,2^{1-x},
f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(\ln 2)^2\,2^{1-x}\bigr] = (\ln 2)^2\bigl[-(\ln 2)\,2^{1-x}\bigr] = -(\ln 2)^3\,2^{1-x}.
Agora avaliamos em x=0:
f(0) = 2^{1} = 2,\quad f'(0) = -(\ln 2)\,2,\quad f''(0) = (\ln 2)^2\,2.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x=0 é
T_2(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 = 2 -2(\ln 2)\,x + \frac{2(\ln 2)^2}{2}\,x^2 = 2 -2(\ln 2)\,x + (\ln 2)^2\,x^2.

Passo 4

O resto de Lagrange de ordem 2 é dado por
R_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^3
para algum \xi entre 0 e x. Substituindo f^{(3)}:
R_2(x) = \frac{-\,(\ln 2)^3\,2^{1-\xi}}{6}\;x^3, \quad \text{com \(\xi\in(0,x)\).}

Resposta

T_2(x) = 2 -2(\ln 2)\,x + (\ln 2)^2\,x^2,
R_2(x) = -\frac{(\ln 2)^3\,2^{1-\xi}}{6}\,x^3,\quad \xi\in(0,x).

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