Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n. O conteúdo é séries de potências e podemos usar testes de convergência (neste caso a identificação com série geométrica) para determinar o intervalo de x em que a série converge.

Passo 2

Observamos que a série pode ser reescrita extraindo um fator x e reconhecendo uma série geométrica. De fato, temos:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n = x sumn=0^infty (x^2-4)^n = x sumn=0^infty l(-tfracx^24r)^n

Passo 3

Para a série geométrica sumn=0^infty r^n convergir, é necessário e suficiente que |r|<1. Aqui r = -tfracx^24, então a condição de convergência é
l| -tfracx^24r| < 1 Longrightarrow tfracx^24 < 1 Longrightarrow x^2 < 4 Longrightarrow |x| < 2

Passo 4

Falta testar os extremos x=2 e x=-2. Para x=2 temos r=-1 e a série vira 2sum(-1)^n, cujos termos não tendem a zero (logo diverge). O mesmo ocorre para x=-2. Portanto, nos extremos a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,,2).

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