Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=0^infty (x+1)^5 n(x+1) 5^n;

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty(x+1)^5n(x+1),5^n
Este é um caso de série geométrica em n, com termo geral da forma
an = (x+1)^5n(x+1),5^n
Vamos usar a teoria de séries geométricas e o teste da razão para séries do tipo sum r^n.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral extraindo o fator que não depende de n:
an = 1x+1,(x+1)^5n5^n = 1x+1,l((x+1)^55r)^n
Logo a série tem a forma
sumn=0^inftyan = 1x+1,sumn=0^inftyl((x+1)^55r)^n,
ou seja, é uma série geométrica de razão
r = (x+1)^55

Passo 3

Uma série geométrica sum r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui exigimos
llvert (x+1)^55rrvert<1 Long<=ftrightarrow lvert x+1rvert^5<5 Long<=ftrightarrow lvert x+1rvert<5^1/5

Passo 4

Portanto a condição de convergência é
-5^1/5<x+1<5^1/5 Long<=ftrightarrow -1-5^1/5<x< -1+5^1/5
Além disso, precisamos excluir x=-1 porque aí o termo geral fica com divisão por zero no caso n=0.

Resposta

O intervalo de convergência é
-1-5^1/5<x< -1+5^1/5,
com xneq -1.

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