Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2.

Passo 1

O enunciado dá a série
sumn=1^inftyl(5^n+5^-nr)(x+1)^3n-2
e pede o intervalo de convergência.
Conteúdo: testes de convergência de séries de potências e séries geométricas.

Passo 2

Observe que podemos fatorar (x+1)^-2 em todo o somatório, definindo
u = (x+1)^3
Então
sumn=1^inftyl(5^n+5^-nr)(x+1)^3n-2 = (x+1)^-2sumn=1^inftyl(5^n+5^-nr),u^n
Para convergência basta estudar sumn=1^infty(5^n+5^-n)u^n.

Passo 3

Separe em duas séries geométricas:
sumn=1^infty5^n u^n e sumn=1^infty5^-nu^n
A primeira converge se e somente se lvert5urvert<1, i.e. lvert urvert<tfrac15.
A segunda converge se e somente se llverttfrac u5rrvert<1, i.e. lvert urvert<5.

Passo 4

Para que ambas convirjam (e assim a soma converja), precisamos da interseção
lvert urvert<tfrac15
Voltando a x, isso exige
llvert(x+1)^3rrvert<tfrac15 Long<=ftrightarrow lvert x+1rvert<5^-tfrac13

Passo 5

Nos pontos extremos lvert x+1rvert=5^-1/3, temos lvert5urvert=5cdot5^-1/3=5^2/3>1, de modo que a primeira série geométrica diverge. Logo nenhum dos extremos é incluído.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-1-5^-tfrac13,,-1+5^-tfrac13r)

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