Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede o intervalo de convergência.
Conteúdo: testes de convergência de séries de potências e séries geométricas.
Conteúdo: testes de convergência de séries de potências e séries geométricas.
Passo 2
Observe que podemos fatorar
em todo o somatório, definindo
Então
Para convergência basta estudar
.
Passo 3
Separe em duas séries geométricas:
A primeira converge se e somente se
, i.e.
.
A segunda converge se e somente se , i.e.
lvert urvert<5 .
A segunda converge se e somente se
Passo 4
Para que ambas convirjam (e assim a soma converja), precisamos da interseção
Voltando a
x , isso exige
Passo 5
Nos pontos extremos
lvert x+1rvert=5^-1/3 , temos
lvert5urvert=5cdot5^-1/3=5^2/3>1 , de modo que a primeira série geométrica diverge. Logo nenhum dos extremos é incluído.
Resposta
O intervalo de convergência é