Exercício 19. (Apostol seção 2.16 exercício 6) Seja A=(ll1 & 1 0 & 1). Mostre que A^2=(ll1 & 2 0 & 1) e calcule A^n.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 1 0 & 1
e pede para mostrar que
A^2 = 1 & 2 0 & 1
e, em seguida, encontrar uma expressão geral para A^n. O conteúdo é potência de matrizes e prova por indução.

Passo 2

Para calcular A^2 = A cdot A, usamos a regra de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) de A^2 é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de A. Assim,
A^2 = 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 = 1 & 2 0 & 1

Passo 3

Observando A e A^2, conjecturamos que, para todo inteiro n>=1,
A^n = 1 & n 0 & 1

Passo 4

Fazemos prova por indução em n.
Base ( n=1):
A^1 = A = 1 & 1 0 & 1,
logo a fórmula vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que
A^k = 1 & k 0 & 1
para algum k>=1. Então
A^k+1 = A^k,A = 1 & k 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1cdot1 + kcdot0 & 1cdot1 + kcdot1 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 = 1 & k+1 0 & 1,
o que mostra a validade da fórmula para k+1. Por indução, vale para todo n>=1.

Resposta

A^n = 1 & n 0 & 1

Exercícios relacionados