Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
1+(x-2)+(x-2)^2+cdots+(x-2)^k+cdots

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
1 + (x-2) + (x-2)^2 + cdots + (x-2)^k + cdots
e a função conhecida que ela representa. O conteúdo principal é série geométrica (que é um caso de série de potências) e vamos usar o teste da razão e a fórmula de soma da série geométrica.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão consideramos o termo geral ak = (x-2)^k. Então
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x-2| = |x-2|
A série converge se e somente se L < 1, ou seja
$$|x-2| < 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 < x < 3.
$$
Nos extremos |x-2| < 1 Longrightarrow 1 < x < 3 e x=1 temos termo geral constante de módulo 1, logo não há convergência.

Passo 3

Sabendo que a série é geométrica com termo inicial 1 e razão r = x-2, usamos a fórmula
sumk=0^infty r^k = 11-r, válida para |r|<1 á
Aqui r = x-2, logo
sumk=0^infty (x-2)^k = 11 - (x-2) = 13-x

Resposta

Intervalo de convergência: (1,3). Função representada: 13-x, para x em (1,3).

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