Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
e a função conhecida que ela representa. O conteúdo principal é série geométrica (que é um caso de série de potências) e vamos usar o teste da razão e a fórmula de soma da série geométrica.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão consideramos o termo geral . Então
A série converge se e somente se L < 1, ou seja
$$|x-2| < 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 < x < 3.
$$
Nos extremos |x-2| < 1 Longrightarrow 1 < x < 3 e x=1 temos termo geral constante de módulo 1, logo não há convergência.
Passo 3
Sabendo que a série é geométrica com termo inicial 1 e razão r = x-2, usamos a fórmula
sumk=0^infty r^k = 11-r, válida para |r|<1 á
Aqui r = x-2, logo
sumk=0^infty (x-2)^k = 11 - (x-2) = 13-x
Resposta
Intervalo de convergência: (1,3). Função representada: 13-x, para x em (1,3).