Sejam os sistemas definidos pelas equações abaixo. . Diga se o sistema é: i) estável, ii)com memória, iii) causal. Justifique a resposta.
y[n]=sumk=n-n0^n+n0 x[k]

Passo 1

O sistema discreto é definido pela equação abaixo e queremos analisar três propriedades: estabilidade BIBO, memória e causalidade.
y[n]=sumk=n-n0^n+n0x[k]

Passo 2

Estabilidade BIBO: para todo sinal de entrada limitado (existe B tal que lvert x[n]rvert<= B para todo n), a saída deve permanecer limitada. Como o somatório tem 2n0+1 termos, vale:
y[n]
Logo, é limitado e o sistema é estável.

Passo 3

Memória: um sistema é memoryless se y[n] depende apenas de x[n]. Aqui y[n] depende de x[k] para k=n-n0 e k=n+n0. Para n0>0 há dependência de amostras diferentes de n, portanto o sistema possui memória.

Passo 4

Causalidade: um sistema é causal se y[n] depende somente de x[k] com k<= n. Como o somatório inclui k=n+n0>n quando n0>0, o sistema depende de entradas futuras e, portanto, não é causal.

Resposta

O sistema é estável (BIBO), possui memória e não é causal.

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