Sejam os sistemas definidos pelas equações abaixo. . Diga se o sistema é: i) estável, ii)com memória, iii) causal. Justifique a resposta.
y[n]=sumk=-infty^n x[k]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre sistemas em processamento de sinais. A gente precisa analisar se o sistema definido por $ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] $ é:
i) Estável
ii) Com memória
iii) Causal
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de estabilidade, memória e causalidade em sistemas. Vou explicar cada um conforme a gente for resolvendo. Vamos nessa!

Passo 2

Verificando a Estabilidade
Primeiro, estabilidade de um sistema. Um sistema é estável se, para toda entrada limitada, a saída também for limitada. Isso é chamado de estabilidade de BIBO (Bounded Input, Bounded Output).
No nosso caso, a saída é a soma de todos os valores de $ x[k] $ de $ -\infty $ até $ n $. Se $ x[k] $ for limitado, a soma infinita pode crescer sem limite, fazendo a saída não ser limitada.
Então, mesmo que $ x[k] $ seja um sinal limitado, a soma acumulativa pode crescer sem parar, o que significa que o sistema não é estável.

Passo 3

Verificando a Memória
Agora, vamos ver se o sistema tem memória. Um sistema é memorizado se a saída em um instante depende de entradas anteriores ou futuras. Se a saída depende apenas da entrada atual, ele é sem memória.
No nosso sistema $ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] $, a saída em $ n $ depende de todos os valores de $ x[k] $ até $ n $. Ou seja, depende de entradas passadas.
Portanto, o sistema tem memória.

Passo 4

Verificando a Causalidade
Por último, vamos analisar a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante $ n $ depende apenas de entradas no presente ou no passado (isto é, $ k \leq n $).
No nosso sistema, $ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] $, a saída em $ n $ depende de $ x[k] $ para todo $ k $ até $ n $. Não há dependência de valores futuros de $ x[k] $ (onde $ k > n $).
Então, o sistema é causal.

Resposta

O sistema definido por $ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] $ não é estável, tem memória e é causal.

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