Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências abaixo:
Ele pede o intervalo de convergência dessa série e qual função conhecida ela representa nesse intervalo. O conteúdo é séries de potências, mais precisamente série geométrica, então vamos precisar do critério de convergência para séries geométricas e da fórmula de soma de uma série geométrica.
Passo 2
Observe que o termo geral pode ser escrito como
Isso mostra que estamos lidando com uma série geométrica de razão
, pois a forma padrão é
.
Passo 3
Para uma série geométrica
sabemos que ela converge se, e somente se,
. Aqui temos
, então a condição de convergência é
Nos pontos
e
a série diverge, pois passa a oscilar ou a produzir soma infinita.
Passo 4
Dentro do intervalo de convergência
, a soma de uma série geométrica é dada por
Substituindo
obtemos
Passo 5
Portanto, concluímos o intervalo de convergência e a função associada à série.
Resposta
Intervalo de convergência:
. Função representada:
.