Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
1-x+x^2-x^3+cdots+(-1)^k x^k+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências abaixo:
sumk=0^infty(-1)^kx^k
Ele pede o intervalo de convergência dessa série e qual função conhecida ela representa nesse intervalo. O conteúdo é séries de potências, mais precisamente série geométrica, então vamos precisar do critério de convergência para séries geométricas e da fórmula de soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser escrito como
(-1)^kx^k = (-x)^k
Isso mostra que estamos lidando com uma série geométrica de razão r = -x, pois a forma padrão é sum r^k.

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=0^inftyr^k sabemos que ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos r=-x, então a condição de convergência é
| -x | < 1 Longrightarrow |x| < 1
Nos pontos x=1 e x=-1 a série diverge, pois passa a oscilar ou a produzir soma infinita.

Passo 4

Dentro do intervalo de convergência |x|<1, a soma de uma série geométrica é dada por
sumk=0^inftyr^k = 11-r
Substituindo r=-x obtemos
sumk=0^infty(-x)^k = 11 - (-x) = 11+x

Passo 5

Portanto, concluímos o intervalo de convergência e a função associada à série.

Resposta

Intervalo de convergência: -1. Função representada: 11+x.

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