Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
1+x^2+x^4+cdots+x^2 k+cdots

Passo 1

A série dada é sumk=0^infty x^2k, que é uma série de potências do tipo geométrica com termo geral ak = x^2k. Precisamos encontrar o intervalo de convergência e a função conhecida que ela representa.

Passo 2

Para achar o intervalo de convergência usamos o teste da razão, calculando L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x^2| = |x|^2. A condição de convergência é L<1, ou seja |x|^2<1, o que equivale a |x|<1.

Passo 3

Agora testamos os extremos x=1 e x=-1: em ambos os casos a série vira 1+1+1+cdots, que diverge. Logo, os extremos não estão incluídos, e o intervalo de convergência é (-1,1).

Passo 4

Sabendo que para |x|<1 a série é geométrica de razão x^2, sua soma é dada pela fórmula da soma de série geométrica: sumk=0^infty x^2k = 11 - x^2.

Resposta

Intervalo de convergência: (-1,1). Função representada: f(x) = 11 - x^2.

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