Determine o intervalo de convergência da série e encontre uma função conhecida que seja representada pela série de potências naquele intervalo.
Passo 1
A série dada é , que é uma série de potências do tipo geométrica com termo geral . Precisamos encontrar o intervalo de convergência e a função conhecida que ela representa.
Passo 2
Para achar o intervalo de convergência usamos o teste da razão, calculando . A condição de convergência é L<1, ou seja |x|^2<1, o que equivale a |x|<1.
Passo 3
Agora testamos os extremos x=1 e x=-1: em ambos os casos a série vira 1+1+1+cdots, que diverge. Logo, os extremos não estão incluídos, e o intervalo de convergência é (-1,1).
Passo 4
Sabendo que para |x|<1 a série é geométrica de razão x^2, sua soma é dada pela fórmula da soma de série geométrica: sumk=0^infty x^2k = 11 - x^2.