Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
Temos a série de potências centrada em
:
O conteúdo aqui é série de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio de convergência.
Passo 2
Seja
. Reescrevendo a série em
:
Pelo teste da razão, analisamos
Para convergir precisamos de
L<1 , ou seja
|y|<1 .
Passo 3
Logo o raio de convergência em
y é 1, isto é em
x temos
Passo 4
Faltam testar os extremos. Para
x=0 , temos
y=1 e a série vira
Como
1/(k^2+4) é decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante convergência.
Passo 5
Para
x=-2 , temos
y=-1 e
que também é alternada com termos monótonos decrescentes a zero, logo converge pelo teste de Leibniz.
Resposta
Raio de convergência: 1. Intervalo de convergência:
[-2,0] .