Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty(-1)^k (x+1)^2 k+1k^2+4

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x=-1:
sumk=1^infty(-1)^k(x+1)^2k+1k^2+4
O conteúdo aqui é série de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Seja y=x+1. Reescrevendo a série em y:
sumk=1^infty(-1)^ky^2k+1k^2+4
Pelo teste da razão, analisamos
L=limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|y^2(k+1)+1/((k+1)^2+4)y^2k+1/(k^2+4)| =|y|^2limktoinftyk^2+4(k+1)^2+4=|y|^2
Para convergir precisamos de L<1, ou seja |y|<1.

Passo 3

Logo o raio de convergência em y é 1, isto é em x temos
|x+1|<1Longrightarrow -1-1

Passo 4

Faltam testar os extremos. Para x=0, temos y=1 e a série vira
sumk=1^infty(-1)^k1^2k+1k^2+4=sumk=1^infty(-1)^k1k^2+4
Como 1/(k^2+4) é decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante convergência.

Passo 5

Para x=-2, temos y=-1 e
sumk=1^infty(-1)^k(-1)^2k+1k^2+4 =sumk=1^infty(-1)^k+11k^2+4,
que também é alternada com termos monótonos decrescentes a zero, logo converge pelo teste de Leibniz.

Resposta

Raio de convergência: 1. Intervalo de convergência: [-2,0].

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