Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty x^kk(k+1)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=1^infty x^kk(k+1). O conteúdo envolve aplicação do teste da razão para determinar o raio e exame dos extremos para achar o intervalo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo ak=1k(k+1), consideramos
L=limktoinfty|ak+1x^k+1akx^k| = |x|limktoinftyk(k+1)(k+1)(k+2) = |x|,k^2+kk^2+3k+2 = |x|,to |x|

Passo 3

A série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos. Para x=1 temos a série telescópica
sumk=1^infty1k(k+1)=sumk=1^inftyl(1k-1k+1r) que converge (soma parcial tende a 1).

Passo 5

Para x=-1 a série fica sum (-1)^k/(k(k+1)). Como bk=1/(k(k+1)) é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge.

Passo 6

Portanto o intervalo de convergência é [-1,1].

Resposta

Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: [-1,1].

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