Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo envolve aplicação do teste da razão para determinar o raio e exame dos extremos para achar o intervalo.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Definindo , consideramos
Passo 3
A série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.
Passo 4
Agora testamos os extremos. Para x=1 temos a série telescópica
sumk=1^infty1k(k+1)=sumk=1^inftyl(1k-1k+1r) que converge (soma parcial tende a 1).
Passo 5
Para x=-1 a série fica sum (-1)^k/(k(k+1)). Como bk=1/(k(k+1)) é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge.
Passo 6
Portanto o intervalo de convergência é [-1,1].
Resposta
Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: [-1,1].