Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . Isso é um caso típico de série de potências centrada em . Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos para ver se entram ou não no intervalo.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, identificamos os coeficientes e escrevemos a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
A condição de convergência pelo teste da razão é L<1, ou seja |x+1|<1. Logo o raio de convergência é R=1, e a série converge para -2. Precisamos agora testar os extremos:
Passo 4
Para x=0 temos x+1=1 e a série vira sumk=1^infty(-1)^k+1tfrac1k, que é a série harmônica alternada. Por ser decrescente em módulo e ter limite zero, ela converge (teste de Leibniz).
Passo 5
Para x=-2 temos x+1=-1 e a série vira sumk=1^infty(-1)^k+1(-1)^kk= -sumk=1^infty1k, que diverge (série harmônica). Concluímos que o ponto x=0 pertence ao intervalo de convergência, mas x=-2 não.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-2,0].