Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty(-1)^k+1 (x+1)^kk

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=1^infty(-1)^k+1(x+1)^kk. Isso é um caso típico de série de potências centrada em x0=-1. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos para ver se entram ou não no intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, identificamos os coeficientes ak = (-1)^k+1/k e escrevemos a razão entre termos consecutivos:
L = limktoinfty |ak+1(x+1)^k+1ak,(x+1)^k| = |x+1| limktoinfty kk+1 = |x+1|

Passo 3

A condição de convergência pelo teste da razão é L<1, ou seja |x+1|<1. Logo o raio de convergência é R=1, e a série converge para -2. Precisamos agora testar os extremos:

Passo 4

Para x=0 temos x+1=1 e a série vira sumk=1^infty(-1)^k+1tfrac1k, que é a série harmônica alternada. Por ser decrescente em módulo e ter limite zero, ela converge (teste de Leibniz).

Passo 5

Para x=-2 temos x+1=-1 e a série vira sumk=1^infty(-1)^k+1(-1)^kk= -sumk=1^infty1k, que diverge (série harmônica). Concluímos que o ponto x=0 pertence ao intervalo de convergência, mas x=-2 não.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-2,0].

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