Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
O conteúdo é convergência de séries de potências. Para resolver vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para encontrar o raio de convergência e depois testar os pontos finais .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz. Seja
Então
Para convergir, precisamos de limsup|an|^1/n<1, ou seja |x|<1.
Passo 3
Logo o raio de convergência é R=1, e a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.
Passo 4
Agora testamos x=1. A série vira
sumn=0^infty1n^2-3
Para n grande vale tfrac1n^2-3simtfrac1n^2, e sabemos que sum1/n^2 converge (é um p-série com p=2>1). Portanto nossa série em x=1 também converge absolutamente.
Passo 5
Testamos x=-1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn^2-3
Mas em módulo é a mesma de antes, sum1/(n^2-3), que converge. Logo a convergência em x=-1 também é absoluta.
Passo 6
Como a série converge para |x|<1 e também em x=pm1, o intervalo de convergência é