Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
sumn=0^+infty x^nn^2-3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumn=0^inftyx^nn^2-3
O conteúdo é convergência de séries de potências. Para resolver vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para encontrar o raio de convergência e depois testar os pontos finais x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz. Seja
an(x)=x^nn^2-3
Então
limsupntoinftyl|an(x)r|^1/n =limntoinfty|x|(n^2-3)^1/n =|x|cdot1 =|x|
Para convergir, precisamos de limsup|an|^1/n<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

Logo o raio de convergência é R=1, e a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 4

Agora testamos x=1. A série vira
sumn=0^infty1n^2-3
Para n grande vale tfrac1n^2-3simtfrac1n^2, e sabemos que sum1/n^2 converge (é um p-série com p=2>1). Portanto nossa série em x=1 também converge absolutamente.

Passo 5

Testamos x=-1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn^2-3
Mas em módulo é a mesma de antes, sum1/(n^2-3), que converge. Logo a convergência em x=-1 também é absoluta.

Passo 6

Como a série converge para |x|<1 e também em x=pm1, o intervalo de convergência é
[-1,1]

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1].

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