Se |r|<1, prove que a série \sum_{n=1}^{+\infty} r^{n} sen n t é absolutamente convergente para todos os valores de t.
Passo 1
O enunciado dá que |r|<1 e pede para provar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty} r^{n}\sin(nt)
é absolutamente convergente para todos os valores de t.
Informações relevantes: |r|<1 e a função \sin aparece com argumento nt. A pergunta é se a série é absolutamente convergente independentemente de t.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa “absolutamente convergente”. Uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. No nosso caso queremos mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \big|r^{n}\sin(nt)\big|
converge. Se conseguirmos provar isso, a série original será absolutamente convergente.
Passo 3
Usamos uma desigualdade simples sobre o seno: para todo x\in\mathbb{R} vale |\sin x|\le 1. Aplicando isso a x=nt obtemos
|\sin(nt)| \le 1\quad\text{para todo }n\text{ e todo }t.
Multiplicando por |r^{n}| (que é |r|^{n}) vem
\big|r^{n}\sin(nt)\big| \le |r|^{n}\quad\text{para todo }n\text{ e todo }t.
Passo 4
Agora lembramos o teste da comparação (ou majorante): se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge. Aqui podemos tomar
Pelo passo anterior temos a_{n}\le b_{n} para todo n.
Passo 5
Falta verificar que \sum_{n=1}^{\infty} |r|^{n} converge quando |r|<1. Isso é a série geométrica: para |r|<1 a soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty} |r|^{n}=\frac{|r|}{1-|r|},
que é finita. Portanto \sum b_{n} converge, e pelo teste da comparação segue que \sum a_{n} converge.
Passo 6
Concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \big|r^{n}\sin(nt)\big|
converge, isto é, a série original \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\sin(nt) é absolutamente convergente. Note que em nenhuma etapa usamos alguma propriedade especial de t: a desigualdade |\sin(nt)|\le1 vale para todo t, logo a conclusão vale para todos os t.
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\sin(nt) é absolutamente convergente para todo t\in\mathbb{R} sempre que |r|<1.