Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informação dada e objetiva:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}.
  • A série é de termos positivos (cada a_n>0 para n\ge1).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação didática).
  • Como o termo envolve fatoriais e potências em n, o teste da razão é uma ferramenta natural: ele costuma simplificar porque muitos fatores se cancelam quando calculamos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Vou usar o teste da razão porque é simples de aplicar aqui e dá uma conclusão direta. Vou primeiro enunciar o teste de forma clara.

Passo 3

Enunciado e explicação do teste da razão (ferramenta que vou usar).
  • Teste da razão (forma prática): para uma série \sum a_n com a_n\neq0, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição rápida para o caso L>1: se \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L>1, então para n grande os termos crescem aproximadamente por um fator maior que 1, logo não tendem a zero e a soma não pode convergir.

Passo 4

Aplicação do teste da razão ao termo a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Calculo explícito de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}.
Simplificando n! e (n+1)!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Passo 5

Cálculo do limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
  • É um limite clássico que define o número de Euler e. Uma justificativa curta: escrevendo logaritmo,
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para x pequeno vale \ln(1+x)=x+o(x), então com x=\tfrac{1}{n} obtemos
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\to n\cdot\frac{1}{n}=1.
Portanto o logaritmo tende a 1 e assim
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.
Assim L=e, e lembrando que e\approx 2{,}718\ldots>1.

Passo 6

Conclusão pelo teste da razão e interpretação final.
  • Encontramos L=e>1. Pelo teste da razão, se L>1 a série diverge.
  • Além disso, como todos os termos a_n são positivos, não faz sentido distinguir convergência absoluta de condicional: a série é simplesmente divergente (não converge absolutamente nem condicionalmente).
  • Uma observação extra intuitiva: como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to e>1, para n grande os termos crescem aproximadamente por um fator >1, então a_n não tende a zero; a condição necessária para convergência de uma série, \lim_{n\to\infty} a_n=0, falha, reforçando a divergência.

Resposta

Divergente.

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