Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informação dada e objetiva:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}.
A série é de termos positivos (cada a_n>0 para n\ge1).
Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação didática).
Como o termo envolve fatoriais e potências em n, o teste da razão é uma ferramenta natural: ele costuma simplificar porque muitos fatores se cancelam quando calculamos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
Vou usar o teste da razão porque é simples de aplicar aqui e dá uma conclusão direta. Vou primeiro enunciar o teste de forma clara.
Passo 3
Enunciado e explicação do teste da razão (ferramenta que vou usar).
Teste da razão (forma prática): para uma série \sum a_n com a_n\neq0, se existir o limite
Intuição rápida para o caso L>1: se \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L>1, então para n grande os termos crescem aproximadamente por um fator maior que 1, logo não tendem a zero e a soma não pode convergir.
Passo 4
Aplicação do teste da razão ao termo a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Calculo explícito de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.
Assim L=e, e lembrando que e\approx 2{,}718\ldots>1.
Passo 6
Conclusão pelo teste da razão e interpretação final.
Encontramos L=e>1. Pelo teste da razão, se L>1 a série diverge.
Além disso, como todos os termos a_n são positivos, não faz sentido distinguir convergência absoluta de condicional: a série é simplesmente divergente (não converge absolutamente nem condicionalmente).
Uma observação extra intuitiva: como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to e>1, para n grande os termos crescem aproximadamente por um fator >1, então a_n não tende a zero; a condição necessária para convergência de uma série, \lim_{n\to\infty} a_n=0, falha, reforçando a divergência.