Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. As informações que temos são exatamente a expressão do termo geral
para
. A tarefa é provar a classificação rigorosamente.
Passo 2
Lembrete das definições (explicadas passo a passo):
- Uma série
converge se as somas parciais têm limite finito quando . - A série
é absolutamente convergente se a série das normas converge. - A série é condicionalmente convergente se
converge, mas diverge. - Se
não converge (isto é, as somas parciais não têm limite finito), dizemos que a série é divergente.
Vou usar essas definições para analisar a série concreta.
Passo 3
Avaliar
para inteiro
. Propriedade básica do seno:
para todo
. Explicação simples e intuitiva: na circunferência unitária, o ângulo
aponta para os pontos
, cuja coordenada
é
; a função seno dá essa coordenada
. Portanto, para todo inteiro positivo
,
Passo 4
Usando o resultado anterior, o termo geral da série é
Ou seja, todos os termos da série são exatamente
.
Passo 5
Calcular as somas parciais. Para qualquer
,
Logo
. Portanto a série converge (e seu valor somado é
).
Agora verificar a convergência absoluta: os termos absolutos são
portanto
que é convergente. Como
converge, a série é absolutamente convergente.
Observação final sobre condicionalidade: como já é absoluta, não é condicionalmente convergente.
Passo 6
Resumo didático curto: porque
para todo inteiro
, a série é a soma de zeros; as somas parciais são sempre
e a série converge. A série das normas também é a soma de zeros, converge, logo a série é absolutamente convergente.
Resposta
Absolutamente convergente.