Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen} \pi n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}\pi n}{n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. As informações que temos são exatamente a expressão do termo geral \dfrac{\operatorname{sen}\pi n}{n} para n=1,2,3,\dots. A tarefa é provar a classificação rigorosamente.

Passo 2

Lembrete das definições (explicadas passo a passo):
  • Uma série \sum a_n converge se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_ntêm limite finito quando N\to\infty.
  • A série \sum a_n é absolutamente convergente se a série das normas \sum |a_n| converge.
  • A série é condicionalmente convergente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • Se \sum a_n não converge (isto é, as somas parciais não têm limite finito), dizemos que a série é divergente.
Vou usar essas definições para analisar a série concreta.

Passo 3

Avaliar \operatorname{sen}\pi n para inteiro n. Propriedade básica do seno: \operatorname{sen}k\pi=0 para todo k\in\mathbb{Z}. Explicação simples e intuitiva: na circunferência unitária, o ângulo k\pi aponta para os pontos (\pm1,0), cuja coordenada y é 0; a função seno dá essa coordenada y. Portanto, para todo inteiro positivo n,
\operatorname{sen}\pi n = 0.

Passo 4

Usando o resultado anterior, o termo geral da série é
a_n=\frac{\operatorname{sen}\pi n}{n}=\frac{0}{n}=0\qquad\text{para todo }n\ge 1.
Ou seja, todos os termos da série são exatamente 0.

Passo 5

Calcular as somas parciais. Para qualquer N,
S_N=\sum_{n=1}^N a_n=\sum_{n=1}^N 0 = 0.
Logo \lim_{N\to\infty}S_N=0. Portanto a série converge (e seu valor somado é 0).
Agora verificar a convergência absoluta: os termos absolutos são
|a_n|=|0|=0\qquad\text{para todo }n,
portanto
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}0=0,
que é convergente. Como \sum|a_n| converge, a série é absolutamente convergente.
Observação final sobre condicionalidade: como já é absoluta, não é condicionalmente convergente.

Passo 6

Resumo didático curto: porque \operatorname{sen}\pi n=0 para todo inteiro n, a série é a soma de zeros; as somas parciais são sempre 0 e a série converge. A série das normas também é a soma de zeros, converge, logo a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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