Determine o intervalo de convergência da série de potências dada
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n(\ln n)^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{termo geral: } a_n(x)=(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n(\ln n)^{2}},\quad n\ge2.
Queremos (1) o raio de convergência R e (2) decidir se os extremos do intervalo (isto é, x=1 e x=-1) pertencem ou não ao conjunto de convergência.

Passo 2

Escolho primeiro encontrar o raio de convergência usando o teste da raiz / fórmula de Cauchy–Hadamard. Aqui está a ferramenta que usamos e o que significa:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\root n\of{|c_n|}},
onde c_n são os coeficientes da série de potências \sum c_n x^n. No nosso caso, c_n = (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n(\ln n)^2}. Então precisamos avaliar
\limsup_{n\to\infty}\root n\of{\left|\frac{1}{n(\ln n)^2}\right|}.
Vou calcular esse limite passo a passo.

Passo 3

Calculemos a n-ésima raiz do coeficiente em valor absoluto:
\root n\of{\left|\frac{1}{n(\ln n)^2}\right|} = n^{-1/n}\,(\ln n)^{-2/n}.
Agora usamos limites conhecidos:
  • \lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1. Justificativa rápida: \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n}\to0, então n^{1/n}\to e^{0}=1.
  • \lim_{n\to\infty} (\ln n)^{2/n} = 1. Mesma ideia: \ln\big((\ln n)^{2/n}\big)=\dfrac{2\ln(\ln n)}{n}\to0.
    Portanto
\lim_{n\to\infty} n^{-1/n}\,(\ln n)^{-2/n} = 1.
Assim
\limsup_{n\to\infty}\root n\of{|c_n|}=1,
e pela fórmula de Cauchy–Hadamard obtemos
R=\frac{1}{1}=1.
Conclusão parcial: a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Falta analisar os pontos x=1 e x=-1.

Passo 4

Análise em x=1. Substituindo x=1 obtemos a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Para decidir convergência absoluta, considere a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Usamos o teste integral: estude a integral impropria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=\ln x (então du=\frac{1}{x}dx), a integral vira
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Essa integral é convergente, pois
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\infty}=\frac{1}{\ln 2}<\infty.
Pelo teste integral (comparando série e integral para funções decrescentes positivas), a série \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} converge. Logo a série original em x=1 converge absolutamente (portanto converge).

Passo 5

Análise em x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{2}}.
Simplificando os sinais: (-1)^{n+1}(-1)^n = (-1)^{2n+1}= -1. Assim a série é
\sum_{n=2}^{\infty}-\frac{1}{n(\ln n)^{2}} = -\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Como já vimos no passo anterior a série \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} converge, então a série em x=-1 também converge (na verdade converge absolutamente, pois é termo a termo igual em módulo ao caso x=1).

Passo 6

Juntando tudo:
  • raio de convergência R=1;
  • converge para todo |x|<1;
  • em x=1 converge absolutamente;
  • em x=-1 converge absolutamente.
    Portanto o intervalo de convergência é o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

[-1,1]

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