Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é “convergência de séries de potências”: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos com o crité-rio de Leibniz.
Passo 2
Definimos
de modo que o -ésimo termo é
Calculamos
Logo, pelo teste da razão,
Para convergir precisamos de |x|^2<1, isto é |x|<1. Assim, o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Em x=1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,cn
Como cn+1cn=(2n+1)/(2n+2)<1 e limntoinftycn=0, os termos |cn| são decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz (série alternante cujos coeficientes decrescem a zero), a série converge em x=1.