Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2 n x^2 n+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n,1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),x^2n+1
O conteúdo é “convergência de séries de potências”: vamos usar o teste da razão para achar o raio R e depois testar os extremos x=pm1 com o crité-rio de Leibniz.

Passo 2

Definimos
cn=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),
de modo que o n-ésimo termo é
tn = (-1)^n,cn,x^2n+1
Calculamos
cn+1cn = 1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2cdot4cdots(2n),(2n+2);g/;1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n) = 2n+12n+2
Logo, pelo teste da razão,
limntoinftygl|tn+1tngr| = limntoinfty2n+12n+2,|x|^2 =|x|^2
Para convergir precisamos de |x|^2<1, isto é |x|<1. Assim, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Em x=1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,cn
Como cn+1cn=(2n+1)/(2n+2)<1 e limntoinftycn=0, os termos |cn| são decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz (série alternante cujos coeficientes decrescem a zero), a série converge em x=1.

Passo 4

Em x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^n,cn,(-1)^2n+1 =sumn=1^infty(-1)^n+1,cn,
que é também alternante com |cn| decrescentes a zero. Novamente converge pelo critério de Leibniz em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1].

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