Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal é determinação do raio de convergência por teste da razão e análise nos extremos
.
Passo 2
Definimos
Pelo teste da razão, calculamos
A série converge se
L<1 , isto é
|x-1|<1 . Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
No interior
|x-1|<1 a convergência é absoluta. Agora checamos os extremos
|x-1|=1 , ou seja
x-1=1 (
x=2 ) e
x-1=-1 (
x=0 ).
Passo 4
Para
x=2 , temos
que é a série alternante harmônica. Pelo critério de Leibniz, converge.
Passo 5
Para
x=0 , a série fica
que diverge pois é (menos) a série harmônica.
Resposta
O intervalo de convergência é
xmid|x-1|<1cup2 , ou em notação de intervalo