Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1(x-1)^nn
O conteúdo principal é determinação do raio de convergência por teste da razão e análise nos extremos |x-1|=1.

Passo 2

Definimos
an = (-1)^n+1(x-1)^nn
Pelo teste da razão, calculamos
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x-1|^n+1/(n+1)|x-1|^n/n = limntoinfty|x-1|nn+1 = |x-1|
A série converge se L<1, isto é |x-1|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No interior |x-1|<1 a convergência é absoluta. Agora checamos os extremos |x-1|=1, ou seja x-1=1 ( x=2) e x-1=-1 ( x=0).

Passo 4

Para x=2, temos
sumn=1^infty(-1)^n+11^nn = sumn=1^infty(-1)^n+1n,
que é a série alternante harmônica. Pelo critério de Leibniz, converge.

Passo 5

Para x=0, a série fica
sumn=1^infty(-1)^n+1(-1)^nn = sumn=1^infty(-1)^2n+1n = -sumn=1^infty1n,
que diverge pois é (menos) a série harmônica.

Resposta

O intervalo de convergência é xmid|x-1|<1cup2, ou em notação de intervalo
(0,2]

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