Determine a solução dos P.V.I.'s:
t doty+y=t, y(10)=20.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
tdoty+y = t, y(10)=20
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem em y(t). Vamos colocá-la na forma padrão e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (supondo tneq0), obtemos a forma padrão
doty + 1t,y = 1,
onde P(t)=1/t e Q(t)=1.

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(t)=expl(integral P(t),dtr) =expl(integral 1t,dtr) =e^ln|t|=t

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t, reconfirmamos
tdoty+y = t,
e notamos que o lado esquerdo é ddt(t,y). Assim,
ddt(t,y) = t
Integrando em t,
t,y = integral t,dt = t^22 + C,
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y(t) = t2 + Ct

Passo 5

Usando a condição inicial y(10)=20, temos
20 = 102 + C10 =5 + C10,
de onde tfracC10=15 e, portanto, C=150.

Resposta

y(t) = t2 + 150t

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