Use a definição de limite para provar as seguintes igualdades.
lim 3 n+2n+1=3

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite de sequência, que
limntoinfty3n+2n+1=3
O conteúdo envolvido é a definição varepsilon N: devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, sempre que n>N, valha
l|3n+2n+1-3r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença em valor absoluto:
l|3n+2n+1-3r| =l|3n+2-3(n+1)n+1r| =l|3n+2-3n-3n+1r| =l|-1n+1r| =1n+1

Passo 3

Queremos 1n+1<varepsilon. Isso acontece sempre que
n+1>1varepsilon Long<=ftrightarrow n>1varepsilon-1
Logo, escolhendo
N=llceil1varepsilon-1rrceil,
garantimos que para todo n>N teremos n+1>= N+1>1/varepsilon, e portanto
1n+1<varepsilon.

Passo 4

Concluímos que, dado qualquer varepsilon>0, existe N (escolhido acima) tal que, para todo n>N,
l|3n+2n+1-3r|=1n+1<varepsilon
Pela definição de limite de sequência, segue-se que
limntoinfty3n+2n+1=3

Resposta

Prova completa de que limntoinfty3n+2n+1=3.

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