Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o que significa convergir dentro de um intervalo. Vamos também usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência da série. Esse teste nos diz que o limite:
onde $ a_n = \frac{\ln n}{n^{2}} x^{n} $, nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 3
Vamos calcular esse limite $ L $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, analisamos cada parte do limite:
-
porque, para grandeslimn to infty ln (n+1)ln n = 1 ,n eln (n+1) são quase iguais.ln n -
limn to infty ( nn+1 )^2 = ( limn to infty nn+1 )^2 = 1^2 = 1
Então, o limite $ L $ fica:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando $ L < 1 $. Assim, temos:
Isso significa que o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é:
Resposta
O intervalo de convergência da série $ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}} x^{n} $ é $ -1 < x < 1 $.