Determine o intervalo de convergência da série de potências
S(x)=sumn=1^infty ln nn^2 x^n -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
S(x) = sumn=1^infty ln nn^2 x^n onde -1 <= x <= 1
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o que significa convergir dentro de um intervalo. Vamos também usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência da série. Esse teste nos diz que o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde $ a_n = \frac{\ln n}{n^{2}} x^{n} $, nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 3

Vamos calcular esse limite $ L $:
L
Simplificando:
L = limn to infty | ln (n+1)(n+1)^2 x^n+1ln nn^2 x^n | = limn to infty | ln (n+1)ln n cdot n^2(n+1)^2 cdot x |

Passo 4

Agora, analisamos cada parte do limite:
  1. limn to infty ln (n+1)ln n = 1 porque, para grandes n, ln (n+1) e ln n são quase iguais.
  2. limn to infty ( nn+1 )^2 = ( limn to infty nn+1 )^2 = 1^2 = 1
Então, o limite $ L $ fica:
L

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando $ L < 1 $. Assim, temos:
L < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é:
|x| < 1

Resposta

O intervalo de convergência da série $ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}} x^{n} $ é $ -1 < x < 1 $.

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