Resolva as seguintes equações:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos que resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso clássico de equação homogênea (o lado direito depende de y/x). Vamos precisar usar a substituição v = y/x e conhecimentos de separação de variáveis e frações parciais.
Passo 2
Como y depende de x via y= v x, calculamos dy/dx em função de v e dv/dx. Sabemos que
Substituindo na equação original (e escrevendo o lado direito em função de v):
Passo 3
Agora isolamos dv/dx para obter uma equação separável. Multiplicando ambos os lados por (1-v):
e daí obtemos
Passo 4
Integramos os dois lados. Primeiro note que
e fazemos frações parciais:
Integrando,
e
Passo 5
Reagrupando e voltando a y (lembre que v = y/x), temos
Multiplicando por -4 e reescrevendo em forma exponencial, obtemos
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Substituindo v=y/x e simplificando (multiplicando por x^4), chegamos à solução implícita
Resposta
|y+2x|^3|y-2x| = C