Resolva as seguintes equações:
d yd x=y-4 xx-y ; R :|y+2 x|^3|y-2 x|=c

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos que resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx=y-4xx-y
Este é um caso clássico de equação homogênea (o lado direito depende de y/x). Vamos precisar usar a substituição v = y/x e conhecimentos de separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Como y depende de x via y= v x, calculamos dy/dx em função de v e dv/dx. Sabemos que
dydx=v + xdvdx
Substituindo na equação original (e escrevendo o lado direito em função de v):
v + xdvdx = v x - 4xx - v x = v - 41 - v

Passo 3

Agora isolamos dv/dx para obter uma equação separável. Multiplicando ambos os lados por (1-v):
(v + xtfracdvdx)(1 - v) = v - 4
xdvdx(1-v) = v^2 - 4
e daí obtemos
1-vv^2-4,dv = dxx

Passo 4

Integramos os dois lados. Primeiro note que
1-vv^2-4 = -v-1(v-2)(v+2)
e fazemos frações parciais:
-v-1(v-2)(v+2) = -141v-2 - 341v+2
Integrando,
integral1-vv^2-4,dv = -14ln|v-2| - 34ln|v+2| + C1
e
integraldxx = ln|x| + C2

Passo 5

Reagrupando e voltando a y (lembre que v = y/x), temos
-tfrac14ln|v-2| - tfrac34ln|v+2| = ln|x| + C
Multiplicando por -4 e reescrevendo em forma exponencial, obtemos
lnl(|v-2|,|v+2|^3r) = lnl(tfracC'x^4r)
Logo
|v-2|,|v+2|^3 = C'x^4
Substituindo v=y/x e simplificando (multiplicando por x^4), chegamos à solução implícita
|y-2x|,|y+2x|^3 = C

Resposta

|y+2x|^3|y-2x| = C

Exercícios relacionados