QUESTÃO 1. [ VALOR 1,0 pt ] Utilize uma série de Maclaurin fornecida, para determinar a série de Maclaurin da função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para determinar a série de Maclaurin da função
usando uma série de Maclaurin fornecida. Informações relevantes que temos:
- A função a expandir é
. - A série de Maclaurin usual para o cosseno (que é a série que normalmente se fornece) é
O objetivo é obter a série de Maclaurin de
a partir dessa série.
Passo 2
Rápida explicação do que é uma série de Maclaurin (pra refrescar a cabeça):
- Uma série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em
. Ela representa uma função como soma de potências de do tipo
onde os coeficientes são dados por
.
- Na prática, quando já se conhece a série de uma função simples (como
ou ), pode-se usar operações termo a termo (multiplicar, somar, derivar, integrar) para obter a série de funções construídas a partir dela. Isso é válido dentro do raio de convergência da série (no caso de , o raio é infinito).
Passo 3
Vamos usar a série conhecida de
e multiplicar termo a termo por
.
A série de é
A série de
Multiplicando cada termo por
(isto é, fazendo
) obtemos
Passo 4
Realizando a multiplicação termo a termo, o expoente de
em cada termo aumenta em
. Assim
Aqui o termo geral ficou claro: o sinal alterna com
, o fator numérico é
no denominador, e a potência de
é
.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos explícitos para ver o padrão e conferir:
Isto corresponde exatamente à soma
.
Passo 6
Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de
tem raio de convergência infinito, portanto a série obtida para
também converge para todo
. Em provas rápidas: basta lembrar que séries de potências de
e
convergem para todo
.
Passo 7
Dica prática para a prova (meio amigo, meio professor de torcida): memorize as séries de
e
. Para obter séries de funções como
,
,
etc., aplique multiplicação por potências de
e substituição
termo a termo — é rápido e seguro.