QUESTÃO 1. [ VALOR 1,0 pt ] Utilize uma série de Maclaurin fornecida, para determinar a série de Maclaurin da função abaixo
f(x)=x \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a série de Maclaurin da função \,f(x)=x\cos(x)\, usando uma série de Maclaurin fornecida. Informações relevantes que temos:
  • A função a expandir é \,f(x)=x\cos(x)\,.
  • A série de Maclaurin usual para o cosseno (que é a série que normalmente se fornece) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
O objetivo é obter a série de Maclaurin de f(x) a partir dessa série.

Passo 2

Rápida explicação do que é uma série de Maclaurin (pra refrescar a cabeça):
  • Uma série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0. Ela representa uma função como soma de potências de x do tipo
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os coeficientes são dados por a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.
  • Na prática, quando já se conhece a série de uma função simples (como \cos x ou \sin x), pode-se usar operações termo a termo (multiplicar, somar, derivar, integrar) para obter a série de funções construídas a partir dela. Isso é válido dentro do raio de convergência da série (no caso de \cos x, o raio é infinito).

Passo 3

Vamos usar a série conhecida de \cos(x) e multiplicar termo a termo por x.
A série de \cos(x) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Multiplicando cada termo por x (isto é, fazendo x\cdot\cos(x)) obtemos
x\cos(x)=x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 4

Realizando a multiplicação termo a termo, o expoente de x em cada termo aumenta em 1. Assim
x\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}.
Aqui o termo geral ficou claro: o sinal alterna com (-1)^n, o fator numérico é (2n)! no denominador, e a potência de x é 2n+1.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos explícitos para ver o padrão e conferir:
x\cos(x)=x-\frac{x^{3}}{2!}+\frac{x^{5}}{4!}-\frac{x^{7}}{6!}+\cdots.
Isto corresponde exatamente à soma \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n)!}.

Passo 6

Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de \cos(x) tem raio de convergência infinito, portanto a série obtida para x\cos(x) também converge para todo x\in\mathbb{R}. Em provas rápidas: basta lembrar que séries de potências de \sin e \cos convergem para todo x.

Passo 7

Dica prática para a prova (meio amigo, meio professor de torcida): memorize as séries de \sin x e \cos x. Para obter séries de funções como x\cos x, x^2\sin x, \cos(2x) etc., aplique multiplicação por potências de x e substituição x\mapsto ax termo a termo — é rápido e seguro.

Resposta

x\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}=x-\frac{x^{3}}{2!}+\frac{x^{5}}{4!}-\frac{x^{7}}{6!}+\cdots

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