Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
a) sumn=1^infty n^3 x^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n^3 x^n. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty (n+1)^3 |x|^n+1n^3 |x|^n = |x|
A série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Isso nos dá raio de convergência R=1. Agora precisamos verificar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 4

Para x=1 a série vira sumn=1^infty n^3, que diverge pois n^3 não tende a zero. Para x=-1 temos sumn=1^infty (-1)^n n^3; como os termos n^3 também não vão a zero, essa série também diverge.

Resposta

(-1,1)

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