(a) integral x cos 5 x d x
(b) integral ln (2 x+1) d x
© integral arctg 4 t d t
(d) integral sen^-1 x d x
(e) integral e^2 Theta sen 3 Theta d Theta
(f) integral0^pi t sen t d t
(g) integral0^12 cos ^-1 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular sete integrais (três indefinidas simples, duas por partes envolvendo funções inversas, uma com exponencial e seno, e duas definidas), usando técnicas como integração por partes, substituição e fórmulas conhecidas de integrais trigonométricas.

Passo 2

Para (a) Aplicando integração por partes em integral xcos5x,dx: escolhemos u=x, dv=cos5x,dx. Então du=dx e v=tfrac15sin5x. Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du obtemos
integral xcos5x,dx = xcdottfrac15sin5x - integral tfrac15sin5x,dx = tfracx5sin5x + tfrac125cos5x + C

Passo 3

Para (b), em integralln(2x+1),dx usamos partes com u=ln(2x+1), dv=dx. Então du=tfrac22x+1dx e v=x, gerando
integralln(2x+1),dx = xln(2x+1)-integral 2x2x+1,dx Reescrevendo 2x2x+1=1-12x+1 e integrando, chegamos a
=xln(2x+1)-l(x-tfrac12ln(2x+1)r)+C=2x+12ln(2x+1)-x+C

Passo 4

Para ©, em integralarctan(4t),dt usamos partes com u=arctan(4t), dv=dt, logo du=tfrac41+16t^2dt, v=t. Obtém-se
tarctan(4t)-integral 4t1+16t^2,dt Fazendo a substituição w=1+16t^2, resulta
=tarctan(4t)-18ln(1+16t^2)+C

Passo 5

Para (d), em integralarcsin x,dx escolhemos u=arcsin x, dv=dx. Então du=tfrac1raiz1-x^2dx, v=x, e
xarcsin x-integral xraiz1-x^2,dx Com w=1-x^2 segue integraltfracxraiz1-x^2dx=-raiz1-x^2, ficando
=xarcsin x+raiz1-x^2+C

Passo 6

Para (e), em integral e^2Thetasin3Theta,dTheta aplicamos partes duas vezes e isolamos a integral. Após contas, chega-se a
e^2Theta13l(2sin3Theta-3cos3Thetar)+C

Passo 7

Para (f), em integral0^pi tsin t,dt usamos partes uma vez: u=t, dv=sin t,dt. Resultado avaliado de 0 a pi
l[-tcos t+sin tr]0^pi=pi

Passo 8

Para (g), em integral0^1/2arccos x,dx aplicamos partes com u=arccos x, dv=dx. Após simplificar a integral resultante por substituição, obtemos
1+pi6-raiz32

Resposta

(a) tfracx5sin5x+tfrac125cos5x+C
(b) tfrac2x+12ln(2x+1)-x+C
© tarctan(4t)-tfrac18ln(1+16t^2)+C
(d) xarcsin x+raiz1-x^2+C
(e) tfrace^2Theta13(2sin3Theta-3cos3Theta)+C
(f) pi
(g) 1+tfracpi6-tfracraiz32

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