Use o teste da integral para determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5 n};

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n}
é convergente ou divergente, usando o teste da integral. Informação dada: os termos são a_n = e^{-5n} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Enunciado do teste da integral (em palavras simples): seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e defina a_n = f(n). Então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
é finita (converge). Aqui cada símbolo significa: f(x) é a função que estendemos dos termos a_n, a_n é o termo da série, e a integral é usada como teste comparativo entre soma discreta e área contínua.

Passo 3

Definimos a função que corresponde aos termos da série:
f(x) = e^{-5x}.
Verificações exigidas pelo teste:
  • Positividade: para todo x, e^{-5x} > 0 porque a exponencial é sempre positiva.
  • Continuidade: e^{-5x} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Monotonia (decrescente): calculemos a derivada
f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-5x} = -5e^{-5x}.
Como e^{-5x}>0, temos f'(x) = -5e^{-5x} < 0 para todo x, logo f é decrescente em [1,\infty).
Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicamos o teste calculando a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx.
Primeiro escrevemos como limite:
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} e^{-5x}\,dx.
Calculando a primitiva:
\int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5} e^{-5x} + C.
Avaliaremos entre 1 e R:
\int_{1}^{R} e^{-5x}\,dx = \left[-\frac{1}{5} e^{-5x}\right]_{x=1}^{x=R} = -\frac{1}{5}e^{-5R} -\left(-\frac{1}{5}e^{-5}\right) = -\frac{1}{5}e^{-5R} + \frac{1}{5}e^{-5}.
Agora o limite quando R\to\infty:
\lim_{R\to\infty} \left(-\frac{1}{5}e^{-5R} + \frac{1}{5}e^{-5}\right) = 0 + \frac{1}{5}e^{-5} = \frac{1}{5}e^{-5}.
A integral é finita (converge) e seu valor é \dfrac{1}{5}e^{-5}.

Passo 5

Pelo teste da integral, como \int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx converge, a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} também converge. (Comentário extra: por ser série de termos positivos, isso é convergência simples e também converge absolutamente; além disso é uma série geométrica com razão r=e^{-5}, então sua soma pode ser escrita como \dfrac{e^{-5}}{1-e^{-5}} se quiser o valor exato da soma.)

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} é convergente.

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