Use o teste da integral para determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes.
;
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a série
é convergente ou divergente, usando o teste da integral. Informação dada: os termos são
para
.
Passo 2
Enunciado do teste da integral (em palavras simples): seja
uma função positiva, contínua e decrescente em
e defina
. Então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
é finita (converge). Aqui cada símbolo significa:
é a função que estendemos dos termos
,
é o termo da série, e a integral é usada como teste comparativo entre soma discreta e área contínua.
Passo 3
Definimos a função que corresponde aos termos da série:
Verificações exigidas pelo teste:
- Positividade: para todo
, porque a exponencial é sempre positiva. - Continuidade:
é contínua em todo . - Monotonia (decrescente): calculemos a derivada
Como
, temos
para todo
, logo
é decrescente em
.
Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicamos o teste calculando a integral imprópria
Primeiro escrevemos como limite:
Calculando a primitiva:
Avaliaremos entre
e
:
Agora o limite quando
:
A integral é finita (converge) e seu valor é
.
Passo 5
Pelo teste da integral, como
converge, a série
também converge. (Comentário extra: por ser série de termos positivos, isso é convergência simples e também converge absolutamente; além disso é uma série geométrica com razão
, então sua soma pode ser escrita como
se quiser o valor exato da soma.)
Resposta
A série
é convergente.