Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(n+1)(n+2)}.
Estamos estudando séries de potências centradas em 0. Para determinar o intervalo de convergência, primeiro usamos o teste da razão para achar o raio R, e depois investigamos o comportamento da série nos extremos x=R e x=-R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão sobre os termos gerais
a_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}
considerando
\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right| =|x|\;\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)} =|x|\;\frac{n+1}{n+3}.
Tomando n\to\infty, temos
L=\lim_{n\to\infty} |x|\;\frac{n+1}{n+3}=|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é R=1,
ou seja, converge para |x|<1.

Passo 3

Agora analisamos o caso x=1. Substituindo em cada termo, a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\cdot1^n}{(n+1)(n+2)} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Os termos \frac{1}{(n+1)(n+2)} são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n\to\infty. Portanto, pelo critério de Leibniz (série alternada), essa série converge.

Passo 4

Agora o caso x=-1. Substituindo, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(-1)^n}{(n+1)(n+2)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Reconhecemos que
\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2},
logo a soma parcial até N é
\sum_{n=0}^{N}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\Bigr) =1-\frac{1}{N+2},
que tende a 1 quando N\to\infty. Assim essa série também converge (na verdade, de forma telescópica).

Resposta

A série converge para -1\le x\le1, ou seja, o intervalo de convergência é
[-1,\,1].

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