Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,x^{n}}{6^{n}}.
O conteúdo é teste de convergência de série de potências e vamos usar o critério da razão para obter o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Denotando a_n = \frac{(-1)^{n+1}x^n}{6^n}, aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n+2}x^{n+1}/6^{n+1}}{(-1)^{n+1}x^n/6^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{6} = \frac{|x|}{6}.
Para convergir, precisamos de L<1, ou seja,
\frac{|x|}{6}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<6.
Logo o raio de convergência é R=6.

Passo 3

Teste em x=6:
O termo geral fica
\frac{(-1)^{n+1}\,6^n}{6^n}=(-1)^{n+1}.
A série é \sum(-1)^{n+1}, cujos termos não tendem a zero, logo diverge em x=6.

Passo 4

Teste em x=-6:
O termo geral fica
\frac{(-1)^{n+1}\,(-6)^n}{6^n} =(-1)^{n+1+n}=(-1)^{2n+1}=-1.
A série é \sum(-1), que também diverge em x=-6.

Passo 5

Concluímos que a série converge somente para |x|<6 e diverge nos extremos x=\pm6.

Resposta

(-6,6)

Exercícios relacionados