Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}.
O conteúdo principal é estudar séries de potências usando o teste da razão para achar o raio de convergência e depois examinar a convergência nos extremos do intervalo com o teste de Leibniz (alternância).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série genérica
a_n = \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}.
Calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+3}/(2n+3)}{(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)}\right| = |x|^2\;\frac{2n+1}{2n+3} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;|x|^2.
Para convergência exigimos
|x|^2 < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Logo o raio de convergência é R=1, e a série converge para x\in(-1,1).

Passo 3

Em x=1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1},
que é alternada, os termos \tfrac1{2n+1} decrescem a zero. Pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente) ao valor \pi/4.

Passo 4

Em x=-1 a série se transforma em
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}.
Também é alternada, com termos decrescendo a zero, logo converge (condicionalmente) a -\pi/4.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1].

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