Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
sumn=1^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n+1 x^n. Isso envolve entender sobre séries de potências e como descobrir para quais valores de a série converge. Vamos precisar usar o teste da razão ou reconhecer que essa série é uma série geométrica alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para entender melhor. A série dada é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n = x - x^2 + x^3 - x^4 + cdots
Perceba que essa é uma série geométrica onde a razão comum é .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma | -x | < 1 implies |x| < 1 converge se e somente se . Nesse caso, nossa razão é . Então, para que a série convirja, precisamos que:
Isso significa que para , a série converge.

Passo 4

Agora, vamos analisar os pontos onde sumn=1^infty (-1)^n+1 (1)^n = sumn=1^infty (-1)^n+1 = 1 - 1 + 1 - 1 + cdots , ou seja, sumn=1^infty (-1)^n+1 (-1)^n = sumn=1^infty (-1)^2n+1 = sumn=1^infty -1 = -1 -1 -1 - cdots e , para ver se a série também converge nesses casos.
  • Para :
Essa é a série alternada que não converge para nenhum valor específico, pois fica oscilando entre 1 e 0.
  • Para :
Essa série diverge para menos infinito.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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