Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
. Isso envolve entender sobre séries de potências e como descobrir para quais valores de
a série converge. Vamos precisar usar o teste da razão ou reconhecer que essa série é uma série geométrica alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para entender melhor. A série dada é:
Perceba que essa é uma série geométrica onde a razão comum
é
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se e somente se
. Nesse caso, nossa razão é
. Então, para que a série convirja, precisamos que:
Isso significa que para
, a série converge.
Passo 4
Agora, vamos analisar os pontos onde
, ou seja,
e
, para ver se a série também converge nesses casos.
- Para
:
Essa é a série alternada que não converge para nenhum valor específico, pois fica oscilando entre 1 e 0.
- Para
:
Essa série diverge para menos infinito.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.